数学漫步：直觉下的微分和积分

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摘要:数学漫步：直觉下的微分和积分姓名：指导：日期：__第1页共8页积分学和微分学是一枚硬币的两面。然而，积分似乎比微分更复杂，因为它涉及到引入数学符号和抽象概念。然而，这些概念本身是非常直观的，并且允许将复杂的概念转换为简单的代数操作。这篇文章试图提供积分微积分的一个直观的观点，并详细说明积分的用途。经典的积分其实并不是计算曲线下的面积。在中学，我们都学会了如何计算各种规则和不规则多边形的面积。我们还学习了求圆和椭圆面积的公式。但是如何计算其他曲线的面积呢?如何求曲线函数下的面积，比如下面这个?你会发现，到目前为止你所学到的方法都无法做到这一点。这就是强大的积分学发挥作用的地方。然而，事实证明，计算这个区域并不像看起来那么困难，而且这个过程是基于更熟悉的方法。那么，我们如何求面积呢?如果我们把这个区域划分成更标准的形状——比如第2页共8页矩形。我们知道如何求一个矩形的面积——它就是长x宽。我们把这个区域分成等宽的矩形，正好在曲线下面。这看起来像这是我们对4个矩形的估计。我们可以计算每个矩形的面积，因为我们知道宽度(端点a和端点b之间的距离除以4)和高度(在右端点处的函数值)。现在，这显然不是一个很好的估计-看看所有的空间。但是如果我们用10个矩形而不是4个会发生什么呢?接着1000个矩形，100000个矩形，如果我们让每个矩形的宽度都趋近于0而矩形的数量也越来越趋近于无穷，会发生什么呢?然后我们就得到了确切的面积。这很直观:随着矩形的宽度变得越来越小，单个矩形与曲线的拟合效果也越来越好;它们的面积和

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