全微分

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摘要:第四讲全微分•内容提要1.全微分的概念；2.可微的充分和必要条件；3.全微分的几何意义•教学要求1.理解多元函数全微分的概念；2.了解全微分存在的充分和必要条件；3.了解全微分在近似计算中的作用。回顾一元函数微分的概念若函数yf(x)在点x处的改变量yf(xx)f(x)可以表示为yAxo(x)则称yf(x)在点x可微，并称Ax是yf(x)在点x处的微分，记为dyAx其中A与x无关,仅与x有关;o(x)是当x0时比x高阶的无穷小.o(x)即lim0x0x一、全微分的概念定义设二元函数zf(x,y)在点(x,y)的某领域内有定义,如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全改变量zf(xx,yy)f(x,y)可以表示为zAxByo()o()0则称函数zf(x,y)在点(x,y)处可微，lim0其中A,B与x及y无关，仅与x，y有关，(x)2(y)2,o()是当0时比高阶的无穷小并称AxBy是函数zf(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dzAxBy若函数在某区域D内各点都可微，则称这函数在D内可微.定理1如果函数zf(x,y)在点(x,y)处可微,则在该点连续证因为zf(x,y)在点(x,y)处可微，即zf(xx,yy)f(x,y)AxByo()limzlim(AxByo())0x0y0x0y0.zf(x,y)(x,y)故函数在点处连续对一元函数，yf(x

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