锈规作图续篇：单用一个只能画单位圆的圆规如何作线段中点

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摘要:锈规作图续篇：单用一个只能画单位圆的圆规如何作线段中点在这个Blog的一篇很老很老的文章里，我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由D.Pedoe教授在1983年提出的：给定A、B两点，只用一个生锈的圆规（没有直尺），如何找出一个点C，使得A、B、C恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题，并借助复平面理论得到了很多一般的结果，其研究成果《锈规作图论》发表在了《中国科学技术大学学报》上。锈规作出等边三角形的方法非常漂亮：利用锈规作图，我们能构造出两点之间由单位长线段构成的折线段，进而实现平行四边形的构造（已知其中三个点，能够只用锈规找出第四个点），进而完成等边三角形的构造。刚才提到的那篇“很老很老的文章”里有详细的描述，继续阅读之前，强烈建议先看一看。事实上，D.Pedoe教授还提过另外一个问题：给定A、B两点，只用锈规能否作出A、B连线的中点？注意，由于没有直尺，线段AB实际上是画不出的。要想“隔空”找出线段的中点，显然并不容易。前几天翻起张景中的《数学家的眼光》，就是为了查阅这个问题的解决方法。《数学家的眼光》一书中详细描述了锈规作图找中点的方法，在这里和大家分享。有了作等边三角形的方法后，有一件很爽的事情，就是我们可以任意地倍长线段了。如图，给定A、B两点后，连续作三次等边三角形，我们便能得到E点，使得A、B、E在一条直线上，并且AB=BE。接下来的证明过程分成三步。首先我们将说明，如果线段AB的长

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