两个重要极限

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摘要:第五讲函数极限的计算两个重要极限•内容提要1.两个重要极限；2.两个极限存在准则。•教学要求熟练掌握用两个重要极限求极限；一、极限存在的两边夹准则极限存在准则（1）夹逼准则（两边夹法则）若xU(x0,)都有不等式g(x)f(x)h(x)成立,limh(x)A则limf(x)Ag(x)且limxx0xx0xx0〖注〗准则一对x等情况也成立。利用两边夹法则可以证明:limsinx0x0limcosx1x0由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。二、复合函数极限定理（复合函数极限运算法则——变量代换法则）设lim(x)a,但在x0的某去心邻域内(x)a,xx0又limf(u)A,则limf[(x)]limf(u)Auaxx0ua证由limf(u)A知0,0ua使当0|ua|时,有|f(u)A|又由lim(x)a得对上述0，0xx0使当0|xx0|时,有|(x)a|又(x)a0|(x)a||f[(x)]A|由极限定义得limf[(x)]limf(u)Axx0ua此定理表明：若f(u)与(x)满足定理的条件f[(x)]转化为则可作代换u(x)把求xlimx0limf(u),这里alim(x)uaxx0——极限过程的转化注如将lim(x)

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